آموزش جامع روش اجزاء محدود (FEM)

روش اجزاء محدود روشی عددی است که از طریق آن معادلات دیفرانسیلی حاکم بر پدیده‌های فیزیکی را مدل سازی و کنترل می‌کنیم. روش FEM به عنوان یکی از نوآورانه‌ترین و کارآمدترین ابزارهای تحلیل شناخته می‌شود. 

روش المان محدود به مهندسان کمک می‌کند که بتوانند پاسخ‌های بی‌نظیر و بدون خطایی را برای پرسش‌های مرتبط با سیستم طراحی شده بدست آورند و در انجام تحلیل آماری خود از آن ها استفاده کنند.

از آنجایی که این روش در مسیر توسعه فناوری‌های نوین ابزار موثری شناخته می‌شود. تا انتهای مقاله همراه ما باشید تا با نحوه حل مسائل سنگین و پیچیده در این روش آشنا بشوید.

روش اجزاء محدود چیست؟

روش اجزاء محدود یا المان محدود (Finite Element Method) ابزاری برای تحلیل در مهندسی و علوم کاربردی است. در این ابزار مسائل سخت و پیچیده به اجزای کوچک‌تری تقسیم شده تا به راحتی نحوه عملکرد سیستم‌ها قابل بررسی باشند.

این تکنیک عددی برای تحلیل هر پدیده فیزیکی در رایانه استفاده می‌شود. رفتار ساختاری یا سیال، انتقال حرارتی، انتشار امواج و رشد سلول های بیولوژیکی انواع پدیده‌ها هستند که درک آن‌های نیازمند استفاده از این متد است.

 بیشتر این فرآیندها با استفاده از معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) تحلیل و حل می شوند. اما برای اینکه رایانه بتواند آنها را درک کند، تکنیک عددی المان محدود توسعه یافته است.

روش المان محدود چه مزایایی دارد؟

اجزاء محدود به سبب ویژگی‌هایی که دارد، در میان مهندسان بسیار پرطرفدار شده است. در این بخش 6 مورد از مزایای آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

• مدل سازی: FEM امکان مدل‌سازی آسان‌تر اشکال هندسی و نامنظم را فراهم می‌کند. از آنجایی که طراح قادر به مدل سازی داخلی و خارجی است، می‌تواند تعیین کند که چگونه عوامل حیاتی ممکن است بر کل ساختار تأثیر بگذارند و چرا ممکن است خرابی رخ دهد.
• سازگاری: سازگاری دومین مزیت در روش المان محدود محسوب می‌شود. منظور از سازگاری این است که بجای چندین بار ساخت نمونه اولیه و صرف هزینه و زمان، می‌توان ترکیبات مختلف مواد را در این روش اجرا کرد.
• دقت: حل و نشان دادن تغییر یک پدیده فیزیکی به صورت دستی بسیار سخت است. اما در رایانه و روش المان محدود به راحتی و با دقت بالا این تغییرات نشان داده می‌شوند.
• شبیه سازی وابسته به زمان: FEM برای شبیه‌سازی‌های وابسته به زمان خاص، مانند شبیه‌سازی تصادف، که در آن تغییر شکل‌ها در یک ناحیه به تغییر شکل در ناحیه دیگر بستگی دارد، بسیار مفید است.
• مدل سازی با شرایط مرزی: اگر برای مدل‌سازی رعایت برخی از شرایط مرزی مانند نیروهای نقطه ای، نیروهای توزیع شده، اثرات حرارتی (مانند تغییرات دما یا انرژی گرمایی اعمال شده) و محدودیت های موقعیتی واجب باشد، Finite Element Method بهترین گزینه است.
• تجسم: المان محدود این امکان را به مهندسان می‌دهد تا بتوانند هر نکته مهم در طراحی مانند آسیب پذیری را با تجسم بالای این روش درک کرده و تغییرات مورد نظر را اضافه بکنند.

کاربردهای روش المان محدود

روش المان محدود به علت تطبیق‌پذیری بالا، کاربردهای زیادی در صنایع دارد.

صنعت خودرو: اجزاء محدود برای شبیه سازی تصادفات، تجزیه و تحلیل ساختاری قطعات و بهینه‌سازی طرح‌های خودرو برای بهبود ایمنی و عملکرد استفاده می‌شود.

مثلا در طراحی جعبه دنده از المان محدود برای تجزیه و تحلیل تنش و تغییر شکل در چرخ‌ دنده‌ها و محفظه گیربکس استفاده می‌شود. این کار اگر با موفقیت انجام شود، تضمین می‌کند که چرخ دنده‌ها می‌توانند بارهای مورد انتظار را بدون شکست تحمل کنند.

صنعت هوافضا: FEM در تحلیل اوضاع اجزای هواپیما در شرایط مختلف با تمرکز بر استرس، تحلیل حرارتی و ارتعاش کمک می‌کند.

تجزیه و تحلیل جریان سیال: حرکت مایعات و گازها را از طریق سیستم هایی مانند لوله ها، پمپ ها و توربین‌ها در این روش مطالعه می‌شوند.

شبیه سازی میدان های الکترومغناطیسی: نحوه تعامل میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی با اشیاء، مانند آنتن ها یا تجهیزات تصویربرداری پزشکی با استفاده از این متد قابل بررسی هستند.

صنعت عمران: در صنعت عمران زمانی که قصد دارید رفتار ساختمان‌ها، سازه‌ها، پل‌ها و زیر ساخت‌ها را در شرایط تنش و تغییر شکل بررسی کنید، روش FEM پایدارترین پاسخ را به شما خواهد داد.

به طور مثال برای تحلیل فوندانسیون و تجزیه و تحلیل تعامل بین پی ساختمان و خاک، از جمله اثرات انواع خاک و نشست، از روش اجزاء محدود استفاده می‌شود.

صنایع ساخت: در صنایعی که ساخت و تولید قطعات اهمیت داشته و کاربرد دارند، روش المان محدود همچنان کاربرد زیادی دارد. به طور مثال در تجزیه و تحلیل فرآیند جوشکاری می‌توان اثرات حرارتی و مکانیکی فرآیندهای جوشکاری بر روی مواد را تجزیه و تحلیل کرد.

6 قدم اصلی برای حل مسئله در روش المان محدود 

برای حل مسائل و مدل‌سازی در روش المان محدود لازم است گام‌های را طی کنید. این موارد به تریتب در ادامه با جزئیات مورد بررسی قرار گرفته‌اند.

1. گسسته‌ سازی

منظور از گسسته‌سازی در این مرحله تقسیم مسئله به قطعات کوچک‌تر است که عنصر نامیده می‌شوند. تابع شکل عناصر هم در این مرحله باید مشخص بشوند. تابعی که پاسخ را بین مقادیر گسسته بدست آمده در گره‌های عنصر درون یابی می کند، تابع شکل نامیده می شود. البته این تابع انواع مختلفی دارد.

عنصر خطی

عنصر سطح

عنصر جامد (رایج ترین نوع عنصر هستند.)

قدم دوم: انتخاب درجه آزادی

درجه آزادی (DoF) به “توانایی” حرکت در یک جهت خاص اشاره دارد. در فضای سه بعدی، 6 درجه آزادی (DoF) وجود دارد که می‌توان در محور x، y یا z حرکت کرد یا چرخید. این عناصر، وقتی با هم ترکیب شوند، یک حرکت سه بعدی را توصیف می کنند. 

در این مرحله، تابع U نشان دهنده جابجایی است. برای هر عنصر، می‌توانیم یک بردار {u} تعریف کنیم که شامل همه جابجایی‌های ممکن برای گره‌های عنصر، از جمله چرخش‌ها است.

توجه داشته باشید که منظور از گره، محلی است که چند المان با یکدیگر برخورد دارند.

 

قدم سوم: پیدا کردن ماتریس سختی

در این مرحله باید برای هر المان ماتریسی در نظر گرفته شود. درایه‌های این ماتریس باتوجه به نوع مسئله اینکه انتقال حرارت، تنش کرنش و یا انواع مسائل فیزیکی باشد، متفاوت است.

ماتریس اینرسی دورانی، ماتریس اینرسی خطی (جرم)، ماتریس سفتی و ماتریس دمپینگ (میرائی) انواع ماتریس‌هایی هستند که در این مرحله کاربرد دارند.

ماتریس سختی عنصر تعیین می‌کند که هر گره در عنصر با اعمال مجموعه‌ای از نیروها و گشتاورها به گره‌ها چقدر جابه‌جا می‌شود. علاوه بر این، کلید حل جابجایی ها در هر گره است.

 

قدم چهارم: جمع‌آوری معادلات عنصر، بدست آوردن معادلات کلی و اضافه کردن شرایط مرزی

در این مرحله باید همه معادلات عناصر را در یک سیستم جهانی ترکیب کنید. برای این کار لازم است از اتصال گره‌ها استفاده کنید. شکل ماتریس جهانی به این صورت خواهد بود. 

درنهایت این مرحله باید اطمینان حاصل کنید که ماتریس سختی جهانی به درستی براساس تعداد کل گره‌ها در مش اندازه شده است.

 

قدم پنجم:حل معادلات

در قدم پنجم باید بر اساس اندازه و نوع مسئله یک روش عددی مناسب انتخاب بکنید. مثلا حل کننده‌های مستقیم مانند روش حذف گاوسی یا حل کننده‌های تکراری مانند روش گرادیان مزدوج انواع حل کننده‌ها در روش المان محدود هستند.

 

قدم ششم: اقدامات پس از پردازش

پس از اتمام پردازش باید نتایج را تفسیر کنید. بدین منظور لازم است مقادیر گره‌های محاسبه شده را برای استخراج مقادیر مورد نظر (تنش، جریان گرما و …) تجزیه و تحلیل کنید.

ابزار تجسم در این روش وجود دارند که با ایجاد نمودار می‌توانند درک بهتری از مسئله برای کاربر ایجاد بکنند. این مرحله ممکن است نیاز به اصلاح و انجام مجدد معادلات داشته باشد.

 

محدودیت های المان محدود (FEM)

روش اجزاء محدود دارای برخی از محدودیت‌ها است.

• مش مورد استفاده برای تحلیل گرهی به مقدار قابل توجهی داده به عنوان ورودی نیاز دارد.

• ایده‌آل سازی اشیاء واقعی نمی‌تواند برای اشیاء پیچیده دقیق باشد.
• با افزایش درجه ظرافت مش، زمان حل در روش FEM افزایش پیدا می‌کند.
• روش المان محدود تقریبی است. هرچند که سعی شده است خطا در کل دامنه کاهش داشته باشد، اما جواب دقیق تنها در گره‌ها بدست می‌آیند.

 

نرم افزارهای تجاری روش المان محدود

می‌توان گفت که روند حل مسائل و مدل‌سازی در تمام این نرم افزارهای مرتبط با اجزاء محدود یکسان است، تنها میزان سختی و کاربر پسند بودن آن‌ها متفاوت است.

انجام پروژه آباکوس (Abaqus)

انجام پروژه انسیس (Ansys)

کامسول (Comsol)

ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)

دایانا (DIANA)

اپنسیس (OpenSees)

نسترن (Nastran)

پلکسیس (PLAXIS)

اف ای ام ام (FEMM) (شبیه‌ساز دوبعدی تحت زبان lua)

انواع روش‌ ها در المان محدود

 

روش اجزاء محدود تعمیم یافته (GFEM): این روش برای ثبت بهتر پدیده‌های پیچیده از طریق توابع ویژه‌ای که دارد گسترش یافته است. مواردی مانند ناپیوستگی‌ها (مانند ترک‌ها یا رابط‌های مواد)، غیر خطی‌ها (مانند شرایط مرزی که نیاز به نمایش انعطاف پذیرتر هست) و در نهایت رفتارهای مرتبه بالاتر ( تکینگی یا پدید‌های موضعی) نیازمند مدل‌سازی از روش اجزاء محدود تعمیم یافته هستند.

 

روش المان محدود افزوده (Augmented-Finite Element Method)

معرفی درجات بیشتری از آزادی از طریق توابع غنی سازی، اصلاح مش‌ها بر اساس راه حل‌ها، متمرکز کردن منابع محاسباتی بر روی مناطقی با گرادیان غلظت استرس بالا و در نهایت مناسب سازی مدل در مسئله استحکام  از ویژگی‌های کلیدی این روش هستند.

 

روش اجزای محدود مختلط (Mixed finite element method)

روش المان محدود مختلط در جهت حل مسئله معادله دیفرانسیل جزئی استفاده می‌شود. اما در این روش متغیرهای مستقل اضافی بجای متغیرهای گرهی زمانی که قصد گسسته‌سازی داریم، استفاده می‌شوند.

 

جمع‌بندی

روش المان محدود (FEM) به عنوان یک تکنیک عددی قدرتمند در علوم فنی و مهندسی کاربرد دارد. از طریق این روش امکان حل مسائل غیر خطی و پیچیده فراهم می‌شود. هرچند که حل معادلات ممکن است نیازمند توجه به جزئیات زیادی باشد.

با استفاده از روش اجزاء محدود مهندسان این امکان را پیدا می‌کنند که رفتار مواد و ساختارها را تحت شرایط مختلف پیش بینی بکنند. این روش هزینه‌های طراحی و ساخت نمونه اولیه را کاهش می‌دهد. در یک نگاه المان محدود ابزاری موثر برای بهینه سازی و تحلیل در حوزه‌های مختلف است.